3.2  数学探究活动：生日悖论的解释与模拟

1、活动背景介绍与要求

假设你所在的班级共有30人，那么你们班至少有两个人生日相同的概率是多少?因为每个人的生日有可能是365天中的任意一天，这样一来，只有人数超过365时，我们才能百分之百地肯定至少有两个人的生日相同，因此感觉上前述问题中的概率应该不会太大．不过，令人京讶的是，利用排列组合的知识可以算出，30个人中，至少有两个人生日相同的概率约为71％!

    事实上，当人群的人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率就超过50％了!而当人数达到41时，概率就超过90 %了!这一结论与人们的直觉相差比较远，因此常被称为“生日悖论”．

生日悖论可以在日常生活中找到很多实例．例如，2014年世界杯中，有32支球队，每支球队恰好就有23名球员．如果生日悖论是真的，可能会有半数球队拥有同生日球员．从国际足联2014年6月10日给出的官方数据中可以看到，瑞士、伊朗、法国、阿根廷和韩国的代表队各有两对生日相同的球员；西班牙、哥伦比亚、美国、喀麦隆、澳大利亚、波黑、俄罗斯、荷兰、巴西、洪都拉斯和尼日利亚的代表队各有两名球员生日相同．也就是说，32支球队中，正好有16支球队至少有两人生日相同，所占比例正好为50％!  

也许大家还是会对生日悖论心存疑惑，因为在日常生活中，我们每个人很难遇到一个与自己生日相同的人．再看以下事实：指定一年中的一天，253个人中，才有50％的概率能找到一个人的生日在指定的那天；要想使概率提高到80％，需要587个人才行．因此，如果你真遇到了一个跟你生日相同的人，那你们确实是“有缘”的．需要注意的是，这里涉及的问题与生日悖论涉及的问题并不相同．

    2、活动安排：请与其他同学一起分工合作，完成下列任务，并填写活动记录表：

    (1)通过世界杯球员的有关数据或其他数据，验证生日悖论是否属实；

    (2)得出由n个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率计算公式；

    (3)利用计算机软件或计算器，分别给出n=15，16，…，60时，(2)

中的概率值，并用适当的图像表示结果；

    (4)选定一个特殊的n值，利用计算机软件模拟验证生日悖论中的概率；

    (5)得出由m个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率计算公式；

    (6)利用计算机软件或计算器，分别给出m=200，201，…，2 200时，(5)中的概率值，并用适当的图像表示结果；

(7)选定一个日期和一个特殊的m值，利用计算机模拟验证(6)中的概率.

生日悖论的解释与模拟活动记录表

活动开始时间：                       

活动结束时间：                       

3、活动提示

(1)除了利用世界杯球员的数据验证生日悖论之外，也可利用学校中各班级的人员信息等．

    (2)所要计算的概率都可借助古典概型来完成，其中需要借助排列组合的有关知识．例如，n个人组成的人群，生日的所有可能情形有365ⁿ。种，而这n个人生日各不相同的情形共有种，生日都不在某个指定日期的情形共有

    (3)计算机模拟可以借助随机函数来完成．

    例如，在验证生日悖论时，可以用Excel中的随机函数随机产生多组数据，然后统计其中有哪些组出现了重复数据，最后计算比例．   

    在图3—2一l中，每一个有数据的单元格，输入的都是“=RANDBETWEEN（1，365）”，

共产生了20组随机数，每一组都由23个数组成，每一组数中重复的数都标成了红色．

图3-2-1

    在验证m个人组成的人群中至少有一个人生日是指定日期的概率时，可先随机指定一个不大于365的正整数，然后用类似的方法产生多个随机数，并查找指定的数是否在产生的随机数中，最后计算比例．

  模拟可下载课件“生日悖论的模拟．xlsm”作为参考．