伯努利家族的故事

高一数学   郑才红

一、教学思路

根据新课程标准对数学学科教学的要求，教师在教学过程中应该注重对学生数学文化的培养，本节课以伯努利家族为例，让学生了解对数学做出突出贡献的伯努利家族。

二、课程设计

伯努利家族共出现了11位数学家，在概率、微积分等方面做出过突出贡献，本节课在这11位数学家中挑选了其中贡献较突出的四位：尼古拉·伯努利、雅各布·伯努利、约翰·伯努利、丹尼尔·伯努利向同学们做出介绍，让学生了解了这些人物的生平简历和学术成就以及对后世的影响，旨在让学生了解这些数学大家们，也能增强学生学习数学的兴趣和信心。

三、教学过程

首先，以一幅家谱简图的形式让同学们介绍本节课要介绍的四位数学家，并介绍了他们之间的关系，为接下来一一介绍做好了铺垫。

（1）尼古拉·伯努利（公元1623～1708年）。伯努利家族 3代人中产生了8位科学家，其中出类拔萃的至少有3位。老尼古拉·伯努利的长子雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli‎，公元1654～1705年)和第三个儿子约翰·伯努利(Johann Bernoulli，公元1667～1748年)成为著名的数学家(微分方程+概率论；洛必达法则+换元积分法) 孙子即丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli，公元1700～1782年)是著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二个儿子 。

（2）雅各布·伯努利 。主要贡献：伯努利家族代表人物之一，数学家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。还较早阐明拉随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近。他研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。　许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。

对后世的影响：1994年第22届国际数学家大会在瑞士的苏黎世召开，瑞士邮政发行的纪念邮票的邮票图案是雅各布·伯努利的头像，以他名字命名的大数定律及大数定律的几何示意图(即当试验次数无限增大时，事件出现的频率稳定于其出现的概率). 伯努利家族是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族，雅可比·伯努利是其中重要的一员，在数学方面取得了许多重大成果. 例如：他曾对微积分的发展作出了重要贡献；为常微分方程的积分法奠定理论基础；在研究曲线问题方面，他提出了一系列新概念；他创立了变分法；他还是概率论的早期研究者和奠基人. 1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”，包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰富的《沉思录》。  1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国，接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯等科学家，写有关于彗星理论（1682年）、重力理论（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授。

（3）约翰·伯努利。生平简历：约翰·伯努利是老尼古拉·伯努利的第三个儿子，雅格布·伯努利的弟弟。幼年时他父亲象要求雅格布一样，试图要他去学经商，他认为自己不适宜从事商业，拒绝了父亲的劝告。1683年进入巴塞尔大学学习。1685年通过逻辑论文答辩，获得艺术硕士学位。1690年获医学硕士学位。1694年又获博士学位。

学术成就：1691年6月，约翰在《教师学报》上发表论文，解决了雅格布提出的关于悬链线的问题。这篇论文的发表，使他加入了C．惠更斯(Huygens)、莱布尼兹和牛顿(Newton)等数学家的行列。1691年秋天，约翰到达巴黎。在巴黎期间他会见了洛比达，并于1691—1692年间为其讲授微积分。二人成为亲密的朋友，建立了长达数十年之久的通信联系．洛比达以后成为法兰西最有才能的数学家之一。1691—1692年间，约翰写了世界上第一本关于微积分的教科书，积分学部分于1742年出版，微分学部分直到1924年才出版。微积分学 约翰首先使用“变量”这个词，并且使函数概念公式化。约翰对一些具体函数进行过研究，除一般的代数函数外，他还引入了超越函数，即三角函数、对数函数、指数函数、变量的无理数次幂函数及某些用积分表达的函数。指出对数函数是指数函数的反函数。约翰还提出了现在微积分中的一个著名定理——洛比达定理(或法则)，它是用导数求一个分式当分子和分母都趋于零(或无穷大)时的极限的。这个定理是由他的学生洛比达在1696年编写的一本非常有影响的微积分教材《无穷小分析》中引入的，后称为洛比达法则。这个法则实际上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的。

（4）丹尼尔·伯努利。人物生平 ：丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)是著名的伯努利家族中最杰出的一位，他是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的第二个儿子。丹尼尔出生时，他的父亲约翰正在格罗宁根担任数学教授．1713年丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年获得学士学位，1716年获得艺术硕士学位。1721年通过论文答辩，获得医学博士学位。他的论文题目是“呼吸的作用” 。同年他申请巴塞尔大学的解剖学和植物学教授，但未成功。1724年他在威尼斯发表了他的《数学练习，引起许多人的注意，并被邀请到彼得堡科学院工作．1725年他回到巴塞尔。之后他又与哥哥尼古拉第二一起接受了彼得堡科学院的邀请，到彼得堡科学院工作。在彼得堡的8年间(1725—1733)，他被任命为生理学院士和数学院士。1727年他与L．欧拉(Euler)一起工作，起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学院士职位。这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学，做出了许多显露他富有创造性才能的工作。但是，由于哥哥尼古拉第二的暴死以及严酷的天气等原因，1733年他回到了巴塞尔．在巴塞尔他先任解剖学和植物学教授，1743年成为生理学教授，1750年成为物理学教授，而且在1750—1777年间他还任哲学教授。

学术造诣：丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种。1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》 。 1725—1757年的30多年间他曾因天文学(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁学(1743，1746)洋流(1748)、船体航行的稳定(1753，1757)和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏。特别是1734年，他与父亲约翰以“行星轨道与太阳赤道不同交角的原因” 的佳作，获得了巴黎科学院的双倍奖金。丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而受到了欧洲学者们的爱戴，1747年他成为柏林科学院成员，1748年成为巴黎科学院成员， 1750年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚(意大利)、伯尔尼(瑞士)、都灵(意大利)、苏黎世(瑞士)和慕尼黑(德国)等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号。

四、教学反思

本节课为学生讲解了伯努利家族四位数学家的故事，让学生突出了解了他们为数学做的贡献，了解了目前学习的相关知识的由来，这对学生数学素养的培养有很好的帮助，增强了学生学习数学的兴趣和信心。不足之处在于对数学家们了解不够全面，对他们的介绍比较狭隘，应该更广泛的搜集他们的知识，在本节课结束的时候鼓励学生课下与我共同搜集数学家的故事，希望可以收到很好的效果，让学生增强知识之余提高数学核心素养，是本节课真正目的所在。