九章算术之粟米

高二数学组  鹿洪岭

一、课程教学思路

《九章算术》其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年)，刘徽为《九章》所作的注本。

它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。本次课先带领学生领略一下中国古代三位数学家，在此基础上引出《九章算术》并讲解第二章粟米，不仅让学生体验到数学文化的熏陶也让学生对数学的实用价值有了一定的了解。

二、教学过程

1、中国古代三位数学家简介

祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。

算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926。祖冲之写过《缀术》五卷，被收入著名的《算经十书》中。改革闰法，应用“岁差”。 首次提出“交点月”的计算。

天文成就：祖冲之对金、木、水、火、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算，给出了更精确的五星会合周期。中国古代科学家算出木星（古代称为岁星）每十二年运转一周。西汉刘歆作《三统历》时，发现木星运转一周不足十二年。

       祖冲之进行了重新测量，得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。并得出更精确的五星会合周期：

           金星583.931日（误差0.009日）

           木星398.903日（误差0.019日）

           水星115.880日（误差0.002日）

           火星780.031日（误差0.094日）

           土星378.070日（误差0.022日）

人物评价：华罗庚（《从祖冲之的圆周率谈起》）：“祖冲之不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且还是一位文学家。祖冲之制订的《大明历》，改革了历法，他将圆周率算到了小数点后七位，是当时世界最精确的圆周率数值，而他创造的“密率”闻名于世。” 《南史》：冲之解钟律博塞，当时独绝，莫能对者。

祖暅又称祖暅之。中国数学家、天文学家。祖冲之之子，字景烁。在梁朝担任过员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等职务。青年时代已对天文学和数学造诣很深，是祖冲之科学事业的继承人。他的主要贡献是修补编辑祖冲之的《缀术》，因此可以说《缀术》是他们父子共同完成的数学杰作。

祖暅原理，也就是“等积原理”： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。

2、九章算术简介

《九章算术》其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年)，刘徽为《九章》所作的注本。

      它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。

第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术

第三章“衰分”：比例分配问题

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。

3、粟米章中今有术与各种比例关系

今有术与各种比例运算

    一．《九章算术》粟米章中的今有术：

          粟米之法

          粟米   50，      粝米   30，       粺米 27，         凿米 24，御米   21，      小麦 13 ½，     大 麦 54，        粝饭 75，粺饭 54，        凿饭   48，       御 饭 42，   菽、合、麻、麦  45, 稻    60，         豉63， 飨 90，    熟菽103½，       蘖[niè]   175。

例    今有粟一斗，欲为粝米。问得几何。

                  答曰：为粝米六升。

                  术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

二．各种比例运算

 1．正比例：《九章算术》粟米第4问

     “今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何。

         答曰：为御米三斗三升五十分升之九。

         术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。”

7．9 ：x = 50 ：21      

 2．反比例：《张丘建算经》卷上第31问

     “今有七百人造浮桥，九日成。进增五百人，问日几何。

         答曰：五日四分日之一。

         术曰：置本人数，以日数乘之，为实；以本人数，今增人数为法，实如法而一。”

700 ：700+500 = x ：9  

         3．复比例：《九章算术》衰分第20问

      “今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之。问息几何。

         答曰：六钱四分钱之三。

         术曰：以三十日乘千钱为法，以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实，实如法得一钱。”

1000 ：750 = 30 ：y  ,       

30 ：9 = y：x ,

4．配分比例：《九章算术》衰分第2问

     “今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：我羊食半马。马主曰：我马食半牛。今欲衰偿之，问各出几何。

        答曰：牛主出二斗八升七分升之四，马主出一斗四升七分升之二，羊主出七升七分升之一。

        术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者，各自为实 。实如法而一。”

N ：M：Y = 4 ：2 ：1                  4 + 2 + 1 = 7

      5．连比例：《九章算术》均输第10问

       “今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤十二铢。今有青丝一斤，问本络丝几何。

        答曰：一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。

        术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘之，为实。实如法得一斤。”

1 斤 = 16 两， 1 两 = 24 铢。

络 ：练 = 1 斤 ：12 两 = 16 ：12 ,

练 ：青 = 1 斤 ：1 斤 12 铢 = 16′24 ：16′24+12 ,

三．今有术的广泛应用

        《九章算术》均输第16问

        “今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何。

          答曰：七百八十里。

          术曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法得主人马一日行。”

三、教学反思

通过本次校本课程学习，学生知道了古代的三位著名的数学家。感受到数学文化的魅力。对于培养学生的数学素养有一定的作用。本次校本课程也拓宽了自己的视野。使自己更进一步知道了《九章算术》的内容。对自己也是一次洗礼。感叹古人智慧的同时，也增加了对数学的认识和热爱！

    当然，本节课学生非常活跃，但由于自己对数学文化了解的不是十分多，有些地方也不能让学生彻底清楚。在以后的日子里时刻注意充电，让自己在数学文化方面丰富起来！

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