九章算术之衰分

高二数学组  史艳晓

一、课程教学思路

新课程标准将数学素养纳入数学教学之中，数学文化是作为数学教师应该向学生传授的，《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经历各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其实大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所做的注本。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。本次课就其中的第三章衰分进行了讲解，让学生对数学的实用价值有了一定的了解。

二、教学过程

1、九章算术内容：

《九章算术》主要采用问题集的形式，全书246个问题。主要涉及算法方面、代数方面、几何方面。其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。

这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。

2、衰分的概念：

衰分，也有版本说"差分"，是九章算术的第三章，主要讲比例分配的问题，用衰分术与反衰术，也有一部分是简单的比例计算。一共20道题，应用上涉及到社会生活的很多方面，比如按爵分配，赔偿问题，纳税，徭役，还有贷款利息的计算。

3、例题讲解：

问题一：今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？

答曰：大夫得一鹿，三分鹿之二

     不更得一鹿，三分鹿之一

     簪裹得一鹿

     上造得三分鹿之二

     公士得三分鹿之一

术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。

这是比较典型的衰分问题，按照现代数学的算法，是一个等差数列（古代数学中"以爵次分之"这种表述，一般还有等差的意思），五项和为5，只有项数跟和两个已知条件，按照等差数列求和，其实是没有唯一解的，不过在那个时代，能求出一组解，已经足够好了。上述算法，翻译为数学语言，大致是

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15，以15为分母

5 * 5，4 * 5，3 * 5，2 * 5，1 * 5 为各自的分子，于是得到：

25/15，20/15，15/15，10/15，5/15

也就是说，衰分术的计算公式，为：

Ai = A * ai / (a1 + a2 + ... + an)

问题二：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：我羊食半马，马主曰，我马食半牛。今欲衰偿之，问各出几何。

答曰：牛主出二斗八升，七分升之四

     马主出一斗四升，七分升之二

     羊主出七升，七分升之一

术曰：置牛四，马二，羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

问题三：今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人共出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何。

答曰：甲出五十一钱、一百九分钱之四十一。

     乙出三十二钱、一百九分钱之一十二。

     丙出一十六钱、一百九分钱之五十六。

术曰：各置钱数为列衰，副并为法，以百钱乘未并者，各自为实，实如法得一钱。

问题四：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？

答曰： 初日织一寸、三十一寸分之十九

      次日织三寸、三十一分寸之七

      次日织六寸、三十一分寸之十四

      次日织一尺二寸、三十一分寸之二十八

      次日织二尺五寸、三十一分寸之二十五

术曰：置一、二、四、八、十六为列衰副并为法，以五尺乘未并者，各自为实，实如法得一尺。

通过这些实际问题的讲解，让学生明白了衰分在比例分配中的作用，也对九章算术有了一定的了解.

三、教学反思

通过本次校本课程的讲解，深刻理解到数学文化对学生学习数学的重要性，让学生不再机械的学习数学，对于培养学生的数学素养有一定的作用。通过准备本次校本课程也让自己受益匪浅，让自己对九章算术从不了解到有了一定的了解，在查资料的过程中，体验到数学文化的博大精深，庆幸自己是因为数学老师，让自己对自己的职业增加了一份热爱！期待自己的进步！

    由于时间原因，搜集的资料有限，对衰分的讲解还不是很透彻，需要进一步挖掘，在以后的教学中一定会尽心去准备每一堂课，好课堂永远在路上！